I.2. Mărimi caracteristice mișcării oscilatorii.

Pentru a defini mărimile caracteristice mișcării oscilatorii ne vom referi la un oscilator elastic în câmp gravitațional (care oscilează în plan vertical) și care poate imprima pe hârtie oscilograma mișcării.

Perioada oscilației (T) este durata unei oscilații complete(dus-întors) a oscilatorului față de poziția de echilibru (O → B₁ → O → B₂ → O).

Unitatea de măsură în SI:

[T]_SI = s (secunde)

Perioada T a oscilatorului elastic depinde de masa acestuia (m) și de constanta elastică (k). Ea nu depinde de amplitudinea oscilației.

Frecvența oscilației (υ - litera grecească"niu") este egală cu numărul de oscilații pe timp, adică invers ca la perioadă.

Unitatea de măsură în SI:

[υ]_SI = s^-1 (secunde^-1) adică în Hz (Hertz)

Deci relația dintre perioadă și frecvență este :

Faza este unghiul la centru și se notează ωt + φ₀. Se măsoară în radiani.
Faza inițială este unghiul inițial la centru și se notează φ₀. Se măsoară în radiani.
Elongația este distanța (OM = OM') la un moment dat a pendulului față de poziția de echilibru. Se notează cu x sau cu y și se măsoară în metri. Este un vector de poziție cu originea în poziția de echilibru a masei m a oscilatorului.
Amplitudinea este distanța maximă (A = OB₁ = OB₂) a pendulului față de poziția de echilibru. Se notează cu A și se măsoară în metri. Amplitudinea oscilației depinde de condițiile inițiale și de perioada oscilatorului.
Pulsația arată viteza de variație a fazei, se notează cu ω și se obține dacă amplificăm frecvența cu 2π. Se măsoară în rad/s.

Din forma graficului (oscilogramei) y = y(t) se observă că legea de mișcare a oscilatorului este o funcție sinus de amplitudine A și perioadă T, de forma:

Ținând cont de formula pulsației, această relație se poate scrie sub forma:

y(t) = A sin 2πνt sau

y(t) = A sin ωt

Când mișcarea nu pornește din origine, ci la t₀ = 0, y(0) ≠ 0, se introduce o mărime constantă numită fază inițială (φ₀) și obținem:

y(0) = A sin φ₀

Legea de mișcare a oscilatorului elastic este:

y(t) = A sin (ωt + φ₀)

Viteza oscilatorului (v) se obține din calculul pantei tangentei la graficul curbei y = y(t) în diferite puncte ale oscilogramei. Așa obținem graficul v = v(t), care este tot de tip sinusoidal, dar defazat cu π/2 față de legea de mișcare. Deci, legea vitezei va fi dată de cosinus.

Legea vitezei oscilatorului elastic este:

v(t) = ωA cos(ωt + φ₀)

Amplitudinea vitezei (viteza maximă) = v_max = | Aω |

Accelerația oscilatorului (a) este dv/dt.

Ecuația accelerației oscilatorului:

a = - Aω²sinωt

Amplitudinea accelerației (accelerația maximă) = a_max = | Aω² |

🔦 Observație

Curbele în funcție de timp ale elongației, vitezei și accelerației sunt pentru faza, φ = 0.
sin0 = sinπ = sin2π = 0
cos0 = cosπ = cos2π = 1
sinπ/2 =sin3π/2 = 1
cosπ/2 =cos3π/2 = 0

👀 Experiment: Perioada unui pendul gravitațional

Materiale necesare:
Suport, riglă, fire de ață de diferite lungimi, un corp (bilă, mingiuță, piuliță), cronometru.

Descrierea experimentului:

Atârnă un corp de firul de ață și trage de corp în sus (nu prea mult) și lasă corpul să aibă o mișcare sus-jos, adică să oscileze sub acțiunea greutății sale.
Măsoară timpul în care se efectuează o oscilație completă (dus-întors) pentru diferite lungimi(l ) ale firului și trece-le în tabel.
Reprezintă dependența l = f (T²), adică a lungimii pendulului gravitațional în funcție de pătratul perioadei (T) măsurată în experiment.

Concluzia experimentului:
Vei constata că această dependență este liniară, adică graficul este o linie dreaptă.

Pentru oscilatorul gravitațional avem formula perioadei sale de oscilație următoarea relație:

Deci perioada pendulului gravitațional este direct proporțională cu lungimea firului inextensibil (l) în radical a pendulului și invers proporțională cu radicalul accelerației gravitaționale (g).

👀 Experiment: Frecvența unui pendul gravitațional

Materiale necesare:
Două piulițe, foarfecă, aţă, bandă adezivă.

Descrierea experimentului:

Atârnă două piulițe, una de un fir de ață mai scurt și cealaltă de un fir mai lung.
Agaţă cele două pendule pe blatul unei mese, cu ajutorul benzii adezive, la o distanţă de 10cm.
Ridică firele celor două pendule la aceeaşi înălţime astfel încât, firele să fie paralele. Dă drumul simultan celor două pendule cu lungimi diferite.
Măsoară timpul în care cele două pendule efectuează un anumit număr de oscilații și calculează frecvență fiecărui pendul.

Pendulul scurt oscilează mai repede decât pendulul mai lung.

Concluzia experimentului:
Un corp poate avea un număr mai mare sau mai mic de oscilaţii în unitatea de timp. Mărimea fizică ce ne arată numărul de oscilaţii executate de un corp într-o secundă se numeşte frecvenţă. Ea se exprimă în oscilaţii pe secundă, adică în hertzi.

🔓 Probleme rezolvate

1. Un oscilator cu amplitudinea de 1,8 cm își începe mișcarea din poziția de echilibru. După 50 ms elongația lui este de 0,9 cm.

Determină:
a) Pulsația
b) Frecvența oscilației
c) Perioada oscilației
d) Legea de mișcare a oscilatorului.

Rezolvare:

Notăm datele problemei:
A = 1,8 cm
t = 50 ms = 50/1000 s
y = 0,9 cm
φ₀ = 0

a) Scriem legea de mișcare a oscilatorului și înlocuim datele problemei

y(t) = A sin (ωt + φ0)

0,9 = 1,8 sin ω ∙ t

sin ω ∙ t = 0,9/1,8 = 1/2

Cum sinusul unui unghi este egal cu ½, înseamnă că unghiul este de 30° pe care îl transformăm în radiani: