I.4. Modelul oscilatorului armonic. Perioada și energia oscilatorului armonic.

Oscilatorul armonic liniar este un oscilator izolat de mediul exterior (Ff = 0) a cărui energie mecanică se conservă în timp, care are amplitudinea constantă și traiectoria rectilinie.

Oscilatorul armonic liniar poate fi modelat ca proiecție a unei mișcări circulare uniforme a unui corp opac pe un ecran aflat perpendicular pe planul în care are loc rotația.

Proiecția acestei mișcări va fi o mișcare oscilatorie armonică.

Când corpul P efectuează o mișcare de rotație cu viteza unghiulară ω, proiecția lui pe ecran (Q) se deplasează de-a lungul axei OOʹ, descriind o mișcare oscilatorie liniar armonică.

Perioada și frecvența oscilatorului armonic

Caracterul periodic al mișcării oscilatorului armonic se reflectă prin ecuația lui de mișcare care este exprimată printr-o funcție periodică.

Calculăm perioada T a funcției considerând că după un timp egal cu T secunde, oscilatorul revine în aceeași poziție și același sens. În timpul unei perioade, faza variază cu 2π rad.

A sin ω(t + T) = A sin (ωt + 2π)

ωt + ωT = ωt + 2π

ωT = 2π

Oscilația pendulului elastic este determinată de inerție și de forța de revenire elastică:

👀 Experiment: Perioada unui pendul elastic (matematic)

Materiale necesare:
Suport, riglă, resort, corpuri de diferite mase, cronometru.

Descrierea experimentului:

Atârnă un corp de resort și trage de corp pe verticală, în jos (nu prea mult) astfel încât corpul să aibă o mișcare pe verticală, sus-jos, adică să oscileze.
Măsoară timpul în care se efectuează mai multe oscilații complete (dus-întors) pentru diferite mase, împarte timpul măsurat la numărul de oscilații numărate și trece-le în tabel.
Reprezintă dependența m = f (T²), adică a masei corpului suspendat de resort în funcție de pătratul perioadei T, măsurată în experiment.

Concluzia experimentului:
Vei constata că această dependență este liniară, adică graficul este o linie dreaptă.

Pentru oscilatorul elastic avem formula perioadei sale de oscilație următoarea relație :

Deci perioada pendulului elastic este direct proporțională cu masa (m) în radical a pendulului și invers proporțională cu radicalul constantei elastice (k) a resortului.

Energia cinetică și potențială a oscilatorului armonic

În cazul oscilatorului armonic presupunem că el nu interacționează cu mediul (F_f = 0) și energia lui mecanică se conservă. Transformarea energiei potențiale în energie cinetică și invers are loc fără pierderi de energie.

Energia potențială a oscilatorului armonic este:

Energia cinetică a oscilatorului armonic este:

Energia totală a oscilatorului armonic este:

Înlocuim în această ecuație pe y și pe v din ecuațiile lor

🔦 Observație

Cum masa (m), pulsația (ω) și amplitudinea (A) sunt constante pentru un anumit oscilator, înseamnă că energia lui mecanică este constantă în timp.

Dacă reprezentăm grafic E_p și E_c în funcție de elongație (y) obținem:

Graficul E_p = f(y) este o parabolă cu vârful în origine.
Graficul E_c = f(y) este tot o parabolă cu vârful în sus.
Ambele parabole sunt simetrice față de OE, cu domeniul de definiție y ϵ [-A; +A].

🔦 Observație

Întrucât forma graficului energiei potențiale seamănă cu o groapă, se spune că pendulul se află în poziția de echilibru într-o groapă de energie potențială.

Ieșirea oscilatorului din această poziție nu se poate face de la sine, ci numai printr-un transfer de energie din afară.

Când pendulul elastic este scos din poziția de echilibru, apare o forță de revenire care readuce oscilatorul în această poziție.

Din acest motiv, poziția y = 0 este o poziție de echilibru stabil.

Pendulul gravitațional este un sistem format dintr-un corp de masă m suspendat de un fir inextensibil de lungime l.

Poziția de echilibru a sistemului este cea verticală.

Deplasat lateral și apoi lăsat liber, pendulul oscilează în jurul poziției de echilibru.

Forța de revenire a pendulului spre poziția de echilibru este greutatea tangențială:
G_t = Gsinθ = mgsinθ

Aplicăm principiul fundamental al dinamicii și obținem :
G_t = ma = mgsinθ
a = gsinθ

Considerăm că amplitudinea unghiulară, θ este mai mică de 5° și atunci putem aproxima
sinθ ≅ θ = x/l

(x = elongația liniară a pendulului și l = lungimea firului pendulului)

Greutatea tangențială o considerăm de tip elastic (forță de revenire cvasielastică) și scriem :

Deci, constanta elastică a oscilatorului este:

Înlocuim în ecuația perioadei oscilatorului armonic pe k/m și obținem:

Perioada pendulului gravitațional

🔦 Observații

Perioada pendulului gravitațional este independentă de masa acestuia.
Perioada proprie a pendulului gravitațional este independentă de amplitudinea oscilațiilor, adică oscilațiile lui nu sunt izocrone (două oscilații cu amplitudine diferită au perioade diferite).
Perioada pendulului gravitațional este dependentă de accelerația gravitațională a Pământului, ceea ce înseamnă că la diferite latitudini de pe glob frecvența oscilatorului este diferită (la aceeași lungime a firului, aceeași elongație liniară și, implicit, unghiulară).

🔓 Probleme rezolvate

1. Un pendul gravitațional cu lungimea de 2 m este suspendat într-un lift care se deplasează cu accelerația a = 2 m/s². Să se determine perioada de oscilație a pendulului când liftul coboară cu accelerația a și când liftul urcă cu accelerația a.

Rezolvare:

Perioada de oscilație a pendulului când liftul coboară este :

Perioada de oscilație a pendulului când liftul coboară este :

2. Într-un tren care se mișcă cu accelerația constantă a = 0,2 m/s² este suspendat un pendul care are lungimea firului de 1 m. Știind unghiul de deviație al pendulului de 5°, află perioada pendulului.

Rezolvare:

3. Cum se modifică perioada de oscilație a unui pendul care bate secunda dacă este urcat pe vârful Omu cu o altitudine de 2500 m. Se dă raza Pământului R = 6400 km.

Rezolvare:

Notăm cu T₀ perioada pendulului la suprafața Pământului unde accelerația gravitațională este g₀ = 9,81 m/s², iar cu T notăm perioada pendulului la înălțimea h = 2500 m. Cum accelerația gravitațională scade cu creșterea altitudinii și perioada de oscilație a pendulului va fi diferită (mai mare) decât la suprafața Pământului.

Un pendul care bate secunda înseamnă că la nivelul mării (altitudinea zero) are perioada de oscilație

Determinăm lungimea pendulului

Determinăm accelerația gravitațională la altitudinea h

Determinăm perioada pendulului la altitudinea h

4. Un pendul la suprafața Pământului o ia înainte cu 0,5 min în 24 de ore. La ce înălțime trebuie ridicat pendulul pentru a nu mai rămâne în urmă?

Rezolvare:

Notăm cu T₀ perioada pendulului la suprafața Pământului unde accelerația gravitațională este g₀ = 9,81 m/s², iar cu T notăm perioada pendulului la înălțimea h.

Notăm cu t = 24 ore = 24 ∙ 3600 s = 86400 s

Notăm cu tʹ = 0,5 min = 0,5 ∙ 60 s = 30 s

La suprafața Pământului pendulul face n oscilații în timpul t - tʹ, iar la înălțimea h face același număr de oscilații în timpul t, deci :