Probleme rezolvate
5.1. Un corp paralelipipedic de 400 g are următoarele dimensiuni:
L = 0,003 hm
l = 15 cm
h = 100 mm
Află cele trei presiuni exercitate de corp asupra unei suprafețe.
Rezolvare:
Scriem datele problemei și le transformăm în SI.
m = 400 g = 0,4 kg
G = m ∙ g = 0,4 kg ∙ 10 N/kg = 4 N
L = 0,003 hm = 0,3 m
l = 15 cm = 0,15 m
h = 100 mm = 0,1 m.
Aplicăm formula presiunii și înlocuim datele problemei:
5.2. Un om bate în perete un cui cu o forță de 600 N care face un unghi α =30° cu peretele. Vârful cuiului are 2 cm2. Află presiunea exercitată de om asupra peretelui.
Rezolvare:
Scriem datele problemei și le transformăm în SI
F = 600 N
S = 2 cm2 = 2/10000 m2
Etalon:
1 cm : 100 N
Calculăm modulul forței normale asupra peretelui
Fn = F ∙ cosα = 600 ∙ 1/2 = 300 N
Scriem formula presiunii și înlocuim datele problemei:
5.3. Un corp paralelipipedic din aluminiu cu densitatea de 2700 kg/m3 și înălțimea de 20 cm este așezat pe un plan înclinat cu unghiul de 60° (cos 60° = 0,5). Calculează presiunea exercitată de corp asupra planului înclinat.
Rezolvare:
Notăm datele problemei și le transformăm în SI:
ρ = 2700 kg/m3
h = 20 cm = 0,2 m
α = 60°
p = ?
Scriem formula presiunii și calculăm mărimile din formulă:
5.4. Determină ce presiune exercită apa cu densitatea de 1000 kg/m3 la adâncimea de 100 m ?
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
ρ = 1000 kg/m3
h = 100 m
p = ?
Scriem formula presiunii hidrostatice:
p = ρ ∙ g ∙ h = 1000 kg/m3 ∙ 10 N/kg ∙ 100 m = 1000000 Pa
5.5. Marea Moartă din Iordania are suprafața apei la cea mai scăzută altitudine de pe glob(427 m sub nivelul mării). Ea este cea mai sărată apă din lume, de 9,6 ori mai sărată decât oceanul planetar. Conținutul extrem de săruri este foarte neprielnic vieții și de aici numele de Marea Moartă. Alte recorduri: apa cu cea mai mare concentrație de brom din lume și lacul hipersalin cel mai adânc de pe pământ (306 metri).
Se cere:
La ce adâncime în Marea Moartă cu densitatea de 1240 kg/m3, apa exercită o presiune de 3720000 Pa?
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
ρ = 1240 kg/m3
h = ?
p = 3720000 Pa
Scriem formula presiunii hidrostatice și scoatem necunoscuta, h:
p = ρ ∙ g ∙ h
5.6. Un pahar cilindric cu aria bazei S = 20 cm2 conține mercur până la înălțimea de 10 cm. Peste mercur se pune 400 g apă. Densitatea mercurului este 13600 kg/m3, iar a apei este 1000 kg/m3.
Să se calculeze:
a) Înălțimea coloanei de apă, știind că este nemiscibilă cu mercurul (nu se amestecă).
b) Presiunea exercitată de cele două lichide asupra fundului vasului.
Rezolvare:
Scriem datele problemei și le transformăm în SI:
S = 20 cm2 = 0,002 m2
h1 = 10 cm = 0,1 m
ρ1 = 13600 kg/m3
ρ2 = 1000 kg/m3
m2 = 400 g = 0,4 kg
h2 = ?
p = ?
Cu formula densității, aflăm volumul de apă adăugat:
Lichidele luând forma vasului, au aceeași arie a bazei cu a paharului, deci volumul apei este:
V2 = S ∙ h2
Calculăm presiunile hidrostatice ale celor două lichide:
p1 = ρ1 ∙ g ∙ h1 = 13.600 kg/m3 ∙ 10 N/kg ∙ 0,1 m = 13600 Pa
p2 = ρ2 ∙ g ∙ h2 = 1.000 kg/m3 ∙ 10 N/kg ∙ 0,2 m = 2000 Pa
p = p1 + p2 = 13600 Pa + 2000 Pa = 15600 Pa
5.7. Într-o sticlă cu gâtul lung se pune apă până la jumătatea sticlei. Răsturnăm apoi sticla astfel încât să se sprijine pe dop. Cum va fi presiunea exercitată de apă când sticla stă pe fund față de presiunea apei când sticla stă pe dop?
Rezolvare:
Când sticla stă pe dop, înălțimea apei este mai mare din cauza gâtului mai subțire decât când stă pe fund. Deci presiunea exercitată de apă este mai mică atunci când stă pe fund decât pe dop. Presiunea hidrostatică, pentru același lichid, nu depinde de aria fundului vasului, ci numai de înălțimea coloanei de lichid din vas.
5.8. Lichidul dintr-o pipetă curge numai dacă se apasă ușor pe tubul din plastic. De ce lichidul nu curge singur când pipeta este verticală?
Rezolvare:
Presiunea aerului de deasupra lichidului din pipetă (p) este mai mică decât presiunea atmosferică (p0) de la vârful pipetei. Presiunea atmosferică este egală cu presiunea aerului din pipetă plus presiunea lichidului din pipetă (ρ ∙ g ∙ h).
p0 = p + ρ ∙ g ∙ h > p
5.9. Calculează forța de apăsare pe care aerul atmosferic o exercită asupa unui geam cu lungimea de 1 m și lățimea de 60 cm, știind că presiunea aerului este 105 Pa.
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
L = 1 m
l = 60 cm = 0,6 m
p = 100000 Pa
F = ?
Scriem formula presiunii și scoatem necunoscuta, F:
Calculăm aria geamului și înlocuim datele:
S = L ∙ l = 1 m ∙ 0,6 m = 0,6 m2
F = p ∙ S = 100000 Pa ∙ 0,6 m2 = 60000 N
Observăm o forță enormă din partea aerului asupra geamului și totuși geamul nu se sparge, deoarece aerul acționează și din exterior și din interior cu aceeași forță, având o forță rezultantă egală cu zero.
5.10. Ce lungime ar trebui să aibă tubul lui Torricelli, dacă în loc de mercur am folosi apă ? Presiunea atmosferică normală este de 100000 Pa, iar densitatea apei este 1000 kg/m3.
Rezolvare:
Notăm datele problemei:
hcol. apă = ? m
p = 100000 Pa
ρ = 1000 kg/m3
Scriem formula presiunii atmosferice și scoatem necunoscuta, hcol. apă :
5.11. Un pahar de 400 cm3 și cu diametrul gurii de 6 cm, plin cu apă, se acoperă cu un carton și se răstoarnă. Densitatea apei este 1000 kg/m3.
Se cere:
a) Ce forță de apăsare exercită apa asupra cartonului ?
b) Ce forță de apăsare exercită aerul atmosferic asupra cartonului, știind presiunea aerului de 100.000 Pa ?
Rezolvare:
Notăm datele problemei și le transformăm în SI:
Fcol. apă = ?
Fcol. aer = ?
p = 100000 Pa
ρ = 1000 kg/m3
V = 400 cm3 = 400 ∙ (0,01m)3 = 0,0004 m3
D = 6 cm
Rcerc = D/2 = 3 cm = 0,03 m
Forța de apăsare a apei este chiar greutatea apei din pahar:
Fcol. apă = Gcol. apă = m ∙ g = ρapă ∙ V ∙ g = 1000 kg/m3 ∙ 0,0004 m3 ∙ 10 N/kg = 4 N
Forța de apăsare a aerului o aflăm din formula presiunii:
5.12. O mașină de 1000 kg este ridicată cu ajutorul unui elevator hidraulic. Știind razele pistoanelor de 10 cm, respectiv 50 cm, calculează:
a) forța necesară ridicării mașinii;
b) cursa pistonului mare, știind cursa pistonului mic de 30 cm.
Rezolvare:
Notăm datele problemei și transformăm în SI:
m = 1000 kg
R1 = 10 cm = 0,1 m
R2 = 50 cm = 0,5 m
h1 = 30 cm = 0,3 m
F1 = ?
h2 = ?
Calculăm greutatea mașinii, care reprezintă forța exercitată de lichid asupra pistonului mare, adică F2:
F2 = G = m ∙ g = 1000 kg ∙ 10 N/kg = 10000 N
Scriem ecuația principiului de funcționare al presei hidraulice:
Calculăm ariile transversale ale celor doi cilindri, care sunt niște cercuri:
S1 = π ∙ R12 = π ∙ (0,1 m)2 = π ∙ 0,01 m2
S2 = π ∙ R22 = π ∙ (0,5 m)2 = π ∙ 0,25 m2
Scoatem necunoscuta, F1 din ecuația principiul de funcționare al presei hidraulice și înlocuim datele:
b) Conform legii lui Pascal, volumul de lichid din cilindrul mic este egal cu volumul de lichid din cilindrul mare:
5.13. Într-un tub U se toarnă apă, cu densitatea de 1000 kg/m3 și apoi, în ramura din stânga se toarnă o coloană de ulei cu înălțimea h1 = 10 cm. Uleiul fiind nemiscibil cu apa, apare o denivelare în ramura stângă de 2 cm. Determină densitatea uleiului folosit. Se dă presiunea aerului, p0 = 10000 Pa
Rezolvare:
Notăm datele problemei și le transformăm în SI:
ρapă = 1000 kg/m3
h1 = 10 cm = 0,1 m (înălțimea coloanei de ulei)
Δh = 2 cm = 0,02 m (denivelarea lichidelor din cele două ramuri)
p0 = 10000 Pa
ρulei = ?
Presiunea exterioară exercitată de ulei, pA, este transmisă integral apei din ramura dreaptă, pB, conform Legii lui Pascal:
pA = pB
Calculăm cele două presiuni, ținând cont și de presiunea atmosferică ce se exercită asupra celor două ramuri ale tubului U:
Δh = h1 – h2 = 0,02 m
h2 = h1 – Δh = 0,1 - 0,02 = 0,08 m (înălțimea coloanei de apă de deasupra nivelului B, care este același cu nivelul A)
pA = p0 + ρulei ∙ g ∙ h1 = 100000 + ρulei ∙ 10 ∙ 0,1 = 100000 + ρulei
pB = p0 + ρapă ∙ g ∙ h2 = 100000 + 1000 ∙ 10 ∙ 0,08 = 100.000 + 800 = 100800
pA = pB
100000 + ρulei = 100800
ρulei = 100800 – 100000 = 800 kg/m3
5.14. Un cub de plută cu latura de 0,3 dm și densitatea de 200 kg/m3, se introduce în apă, care are densitatea de 1000 kg/m3.
Se cere:
a) Valoarea forței arhimedice.
b) Valoarea forței rezultante ce acționează asupra corpului în apă. Cum se numește această forță?
c) Ce înălțime h are porțiunea de cub care este sub apă?
Rezolvare:
Notăm datele problemei și le transformăm în SI:
l = 0,3 dm = 0,03 m
ρplută = 200 kg/m3
ρapă = 1000 kg/m3
FA = ?
R = ?
h = ?
a) Calculăm volumul cubului:
Vcub = l3 = (0,03 m)3 = 0,000027 m3
Aplicăm formula forței arhimedice din Legea lui Arhimede:
FA = ρapă ∙ Vcub ∙ g = 1000 kg/m3 ∙ 0,000027 m3 ∙ 10 N/kg = 0,27 N
b) Calculăm greutatea corpului:
G = m ∙ g = ρplută ∙ Vcub ∙ g = 200 kg/m3 ∙ 0,000027 m3 ∙ 10 N/kg = 0,054 N
Deoarece | FA | > | G | apare o forță rezultantă, care acționează asupra corpului pe verticală, în sus, numită forță ascensională (Fa) care determină ieșirea corpului parțial din lichid.
| Fa | = | FA - G | = 0,27 – 0,054 = 0,216 N
c)Porțiunea scufundată dezlocuiește un volum de lichid egală cu greutatea corpului:
| FA | = | G |
5.15. Un corp cântărește în aer 800 g, iar cufundat în glicerină are 600 g. Știind densitatea glicerinei de 1260 kg/m3, află:
a) Volumul corpului.
b) Forța rezultantă. Ce face corpul cufundat în acest lichid ?
Rezolvare:
Notăm datele problemei și le transformăm în SI:
m = 800 g = 0,8 kg
maparent = 600 g = 0,6 kg
ρglicerină = 1260 kg/m3
a) V corp = ?
b) R = ?
a)Calculăm greutatea corpului și greutatea aparentă:
G = m ∙ g = 0,8 kg ∙ 10 N/kg = 8 N
Gap = map ∙ g = 0,6 kg ∙ 10 N/kg = 6 N
Calculăm forța arhimedică cu cele două formule ale sale:
FA = G – Gap = 8 N – 6 N = 2 N
FA = ρglicerină ∙ Vcorp ∙ g = 1260 ∙ Vcorp ∙ 10
2 = 1260 ∙ Vcorp ∙ 10
Vcorp = 2/12600 = 0,0001 m3
b) Deoarece | FA | < | G | apare o forță rezultantă, care acționează asupra corpului pe verticală, în jos, numită greutate aparentă (Gap) care determină scufundarea corpului în lichid.
| Gap | = | G – FA | = 8 N – 2 N = 6 N
5.16. O sferă de oțel de 500 cm3 și densitatea de 7800 kg/m3 este suspendată de un dinamometru în aer și apoi cufundată în apă, cu densitatea de 1000 kg/m3. Ce indică dinamometrul când sfera este în aer, respectiv în apă ?
Rezolvare:
Scriem datele problemei și le transformăm în SI:
Vc = 500 cm3 = 0,0005 m3
ρc = 7800 kg/m3
ρapă = 1000 kg/m3
G, Gap = ?
Calculăm masa sferei:
m = ρc ∙ Vc = 7800 kg/m3 ∙ 0,0005 m3 = 3,9 kg
Calculăm greutatea sferei:
G = m ∙ g = 3,9 kg ∙ 10 N/kg = 39 N
Calculăm forța arhimedică :
FA = ρapă ∙ Vc ∙ g = 1000 kg/m3 ∙ 0,0005 m3 ∙ 10 N/kg = 5 N
Calculăm greutatea aparentă (când sfera este cufundată în apă):
| FA | = | G – Gap |
| Gap | = | G – FA | = 39 N – 5 N = 34 N
5.17. Un iceberg care plutește în apa oceanului cu densitatea ρ = 1010 kg/m3, are partea de deasupra apei V0 = 600 m3. Știind densitatea gheții ρ0 = 920 kg/m3, află volumul, V, al icebergului.
Rezolvare:
Scriem datele problemei:
V0 = 600 m3
ρ = 1010 kg/m3
ρ0 = 920 kg/m3
V = ?
Calculăm volumul icebergului scufundat în apă:
Vscufundat = V - V0
Porțiunea scufundată dezlocuiește un volum de lichid egală cu greutatea corpului:
| FA | = | G |
ρ ∙ Vscufundat ∙ g = ρ0 ∙ V ∙ g
ρ ∙ Vscufundat = ρ0 ∙ V
ρ ∙ (V-V0) = ρ0 ∙ V
ρ ∙ V - ρ ∙ V0 = ρ0 ∙ V
V ∙ (ρ - ρ0) = ρ ∙ V0
