Probleme rezolvate

🔓 Probleme rezolvate - Lucrul mecanic

3.1. O mașină se deplasează rectiliniu și uniform pe o porțiune de șosea cu o viteză de 21,6 km/h, timp de 30 min. Știind că între roțile mașinii și asfalt apare o forță de 40 N, află lucrul mecanic total efectuat de motorul mașinii.

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:

Reprezentăm forţele.

Calculăm distanța parcursă:
d = v ∙ t = 6 m/s ∙ 1800 s = 10800 m

La v = constantă avem modulul forței de tracțiune egal cu modulul forței de frecare:
| F | = | F_f | = 40 N

L_G = L_N = 0
(deoarece greutatea și reacțiunea normală sunt perpendiculare pe direcția deplasării)

Calculăm lucrul mecanic motor:
L_F = F ∙ d = 40 N ∙ 10800 m = 432000 J

Calculăm lucrul mecanic rezistent, ținând cont de convenții (deoarece forța de frecare se opune mișcării, acest lucru este negativ):
L_Ff = - F_f ∙ d = - 40 N ∙ 10800 m = - 432000 J

Calculăm lucrul mecanic total:
L_total = L_F + L_Ff + L_G + L_N = 432000 J - 432000 J + 0 J + 0 J = 0 J

3.2. Un copil trage o sanie pe o distanță de 100 m cu o forță de 40 N, a cărei direcție face un unghi de 60° cu orizontala. Știind forța de frecare de 10 N, determină lucrul mecanic total.

Rezolvare:

Desenăm forțele ce acționează asupra saniei:

Desenăm forța de tracțiune pe direcția oblică.

Descompunem forța de tracțiune după cele două direcții perpendiculare, O_x (pe orizontală) și O_y (pe verticală), ducând din vârful ei perpendiculare pe cele două axe. Așa obținem componentele forței de tracțiune pe cele două axe, F_x și F_y.

Reprezentăm greutatea corpului, din centrul de greutate, pe verticală în jos.

Măsurăm segmentul forței F_y și trasăm un segment egal cu diferența dintre segmentul greutății și segmentul forței F_y, de la baza corpului, în același sens cu F_y. Aceasta este forța de reacțiune normală (N).

Trasăm un segment de la mijlocul corpului, la suprafața de contact, însă în sens opus lui F_x și mai mic decât F_x, deoarece corpul nu are o mișcare uniformă. Aceasta este forța de frecare ( F_f ).

Pe direcția orizontală ( O_x ):
| F_x | > | F_f |

Pe direcția verticală ( O_y ):
| G | = | F_y + N |

Scriem datele problemei:
d = 100 m
F = 40 N
F_f = 10 N
α = 60°, cos α = 0,5
L_total = ?

Calculăm modulul forței F_x care acționează pe direcția și în sensul mișcării corpului:
F_x = F ∙ cos α = 40 N ∙ 0,5 = 20 N

L_G = L_N = L_Fy = 0 (deoarece greutatea, reacțiunea normală și componenta forței de tracțiune pe axa Oy sunt perpendiculare pe direcția deplasării)

Calculăm lucrul mecanic motor:
L_Fx = F_x ∙ d = 20 N ∙ 100 m = 2000 J

Calculăm lucrul mecanic rezistent, ținând cont de convenții (deoarece forța de frecare se opune mișcării, acest lucru este negativ):
L_Ff = - F_f ∙ d = - 10 N ∙ 100 m = - 1000 J

Calculăm lucrul mecanic total:
L_total = L_F + L_Ff + L_G + L_N + L_Fy = 2.000 J - 1.000 J + 0 J + 0 J + 0 J = 1.000 J

🔓 Problemă rezolvată - Puterea mecanică. Unități de măsură ale puterii

3.3. Un automobil de 2 t se deplasează rectiliniu și uniform, pe orizontală, cu viteza de 90 km/h, iar forțele de frecare reprezintă 12% din greutatea automobilului.
a) Calculează puterea motorului exprimată în W și în CP.
b) Pentru o putere constantă a motorului mașinii, în ce situație atinge mașina viteza maximă?

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:
m = 2 t = 2000 kg
v = 90 km/h = 90 : 3,6 = 25 m/s = constantă
F_f = 12% din G
P =? W, CP
P = constantă, v_max =?

Calculăm greutatea automobilului:
G = m ∙ g = 2000 kg ∙ 10 N/kg = 20.000 N

Calculăm forța de frecare:

La v = constantă avem modulul forței de tracțiune egal cu modulul forței de frecare:
|F| = |F_f| = 2400 N

Scriem formula puterii și a lucrului mecanic și în loc de d/Δt punem viteza, v:

b) La P = constantă, forța de tracțiune este invers proporțională cu viteza.

Deci automobilul atinge o viteză maximă atunci când forța de tracțiune este minimă.

🔓 Problemă rezolvată - Randamentul

3.4. Calculează randamentul planului înclinat.

Iată tabelul cu datele experimentale:

Rezolvare:

Transformăm toate dimensiunile în metri:
h₁ = 2 cm = 0,02 m
h₂ = 6 cm = 0,06 m
h₃ = 11 cm = 0,11 m
l = 23 cm = 0,23 m

Calculăm pentru fiecare determinare randamentul:

Observăm faptul că odată cu creșterea înălțimii planului înclinat (implicit și a unghiului α al planului), randamentul planului înclinat crește.

🔓 Probleme rezolvate - Energia cinetică

3.5. Un autoturism se deplasează cu viteză constantă pe o șosea rectilinie. La semaforul roșu, șoferul frânează, mașina oprindu-se după 40m. Știind forța de frecare de 2000 N, ce energie cinetică a avut mașina înaintea începerii frânării ?

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:
v = constantă
F_f = 2000 N
d = 40 m
E_ci =? (energia cinetică inițială )

Reprezentăm forțele ce acționează asupra mașinii:

Calculăm lucrul mecanic al tuturor forțelor ce acționează asupra corpului și apoi lucrul mecanic total:
L_Ff = - F_f ∙ d = - 2000 N ∙ 40 m = - 80000 J
L_G = 0 J și L_N = 0 J (deoarece G și N sunt perpendiculare pe direcția mișcării corpului).
L_total = L_Ff + L_G + L_N = - 80000 J + 0 J + 0 J = -80000 J

Calculăm variația energiei cinetice
ΔE_c = E_cf - E_ci = 0 - E_ci = - E_ci , deoarece E_cf = 0 (energia cinetică finală este 0 deoarece mașina s-a oprit și v_f = 0).

Egalăm variația energiei cinetice cu lucrul mecanic (Legea variației energiei cinetice):
ΔE_c = L
-E_ci = L_total
-E_ci = - 80000 J
E_ci = 80000 J

3.6. O motocicletă de 230 kg pornește din repaus și ajunge la viteza de 20 m/s după ce parcurge 30 m, pe un drum orizontal. Calculează forța de tracțiune a motorului, dacă forța de frecare este de 500 N.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:
m = 230 kg
v_i = 0
v_f = v
d = 30 m
F_f = 500 N
F = ?

Reprezentăm forțele ce acționează asupra motocicletei:

Calculăm lucrul mecanic total prin adunarea lucrurilor mecanice ale forțelor ce acționează asupra corpului:
L_F = F ∙ d = F ∙ 30
L_Ff = - F_f ∙ d = - 500 N ∙ 30 m = - 15000 J
L_G = 0 J și L_N = 0 J (ambele forțe sunt perpendiculare pe direcția mișcării corpului).
L_total = L_F + L_Ff + L_G + L_N = F ∙ 30 – 15000 + 0 + 0 = F ∙ 30 – 15000

Calculăm variația energiei cinetice
ΔE_c = E_cf - E_ci = E_cf - 0 = E_cf, deoarece E_ci = 0 ( mașina a pornit și în repaus avea v_i = 0).

Egalăm variația energiei cinetice cu lucrul mecanic (Legea variației energiei cinetice):
ΔE_c = L_total
46000 = F ∙ 30 – 15000
F ∙ 30 = 46000 + 15000
F = 2033,33 N

🔓 Probleme rezolvate - Energia potențială gravitațională

3.7. a) Să calculăm lucrul mecanic al greutății unui corp cu masa de 0,015 kg, când cade liber pe sol de la înălțimea h = 0,1 m.

b) Să calculăm lucrul mecanic al greutății unui corp cu masa de 0,015 kg, când coboară pe un plan înclinat la sol având o lungime de l = 0,33 m.

Rezolvare:

a) L_G = G ∙ h = m ∙ g ∙ h = 0,015 kg ∙ 10 N/kg ∙ 0,1 m = 0,015 J

b) Când corpul coboară pe un plan înclinat, forța care efectuează lucru mecanic este greutatea tangențială, G_t și parcurge o distanță egală cu lungimea ( l ) a planului înclinat.

• Indiferent de drumul urmat de corp, lucrul mecanic al greutății este același. Deci, greutatea este o forță conservativă.

3.8. Cât este energia potențială gravitațională a unui avion de 30 t la altitudinea de 10 km față de sol?

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:
E_pg = ?
m = 30 t = 30000 kg
h = 10 km = 10000 m

Calculăm energia potențială gravitațională a avionului
E_pg = m ∙ g ∙ h = 30000 kg ∙ 10 N/kg ∙ 10000 m = 3000000000 J

🔓 Probleme rezolvate - Energia potențială elastică

3.9. O forță de 40 N alungește un resort cu 2 dm. Cât este forța care alungește același resort cu 6 dm ? Trasează graficul forței deformatoare F de la starea nedeformată până la alungirea maximă, în funcție de alungirea resortului, Δl.

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:

Scriem legea deformării elastice pentru prima forță deformatoare (F₁) și aflăm constanta elastică a resortului, k:

Scriem legea deformării elastice pentru a doua forță deformatoare F₂:

Reprezentăm graficul forței deformatoare F, în funcție de alungirea resortului, de la starea nedeformată (F = 0 și Δl = 0) până la alungirea maximă.

Graficul este liniar (linia roșie) datorită dependenței liniare a forței deformatoare cu deformarea produsă asupra resortului.

3.10. Cât este energia potențială elastică a unui resort cu 150 N/m comprimat cu 30 cm?

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:

Scriem formula energiei potențiale elastice și înlocuim datele problemei:

🔓 Problemă rezolvată - Energia mecanică

3.11. Un șifonier de 50 kg aflat într-un camion, coboară de la înălțimea de 1 m, pe o platformă oblică ajungând la o viteză de 36 km/h la baza acestui plan înclinat. Calculează lucrul mecanic al forței de frecare asupra șifonierului în timpul coborârii lui.

Rezolvare:

Scriem datele problemei și transformăm în SI:

Scriem ecuația teoremei de variație a energiei mecanice și înlocuim datele problemei.

🔓 Problemă rezolvată

3.12. Un pendul gravitațional este tras lateral la 0,3 m față de poziția de echilibru (verticală). Cu ce viteză va trece pendulul prin dreptul poziției de echilibru (starea 2)?

Rezolvare:

Desenăm mișcarea pendulului de la prima poziție (când este la înălțimea h) până la a doua poziție (când trece prin poziția de echilibru):

Scriem datele problemei și transformăm în SI:
v = ?
h = 0,3 m

Calculăm energia mecanică a pendulului în cele două stări:

Scriem ecuația legii conservării energiei mecanice și înlocuim datele problemei.

🔓 Probleme recapitulative rezolvate - Lucrul mecanic, energia mecanică

3.13. Un corp de 400 g se deplasează uniform pe o suprafață orizontală cu 10 m/s în 20 min. Știind că forța de frecare reprezintă 15% din greutatea corpului, se cere :
a) Reprezintă toate forțele ce acționează asupra corpului și află valoarea lor.
b) Lucrul mecanic total.
c) Puterea mecanică produsă de corp.
d) Energia cinetică a corpului în timpul deplasării.

Rezolvare:

Scriem datele problemei și le transformăm în SI:
m = 400 g = 0,4 kg
v = constantă = 10 m/s
t = 20 min = 1200 s
F_f = 15% G

a)

G = m ∙ g = 0,4 kg ∙ 10 N/kg = 4 N

F_f = 15/100 ∙ 4 N = 0,6 N

| F | = | F_f | = 0,6 N, deoarece v = constantă

| N | = | G | = 4 N

b) L_total = L_F + L_Ff + L_G + L_N
L_F = F ∙ d = F ∙ v ∙ t = 0,6 N ∙ 10 m/s ∙ 1200 s = 7200 J
L_Ff = -F_f ∙ d = - F ∙ v ∙ t = -0,6 N ∙ 10 m/s ∙ 1200 s = -7200 J
L_G = L_N = 0 J
L_total = L_F + L_Ff + L_G + L_N = 7200 J - 7200 J + 0 J + 0 J = 0 J

c)

d)

3.14. Un corp de 1 kg este lăsat să alunece liber pe un plan înclinat, fără frecare, care are unghiul de 30° și lungimea planului de 0,04 dam. Se dă sin 30°=0,5.
a) Desenează forțele ce acționează asupra corpului.
b) Determină lucrul mecanic efectuat de corp în timpul coborârii.
c) Află înălțimea planului înclinat.
d) Determină viteza corpului când ajunge la baza planului înclinat.

Rezolvare:

Notăm datele problemei:
m = 1 kg
F_f = 0
α = 30°
sin 30° = 0,5
l = 0,04 dam = 0,4 m

a)

b)

c)

d)

3.15. O praștie este confecționată folosind un fir elastic care se întinde cu 4cm, atunci când de el se atârnă o piatră de 80 g. Câtă energie este acumulată în cele șase fire identice ale praștiei întinse, fiecare cu 10 cm? Ce viteză capătă piatra la lansarea cu praștia?

Rezolvare:

Scriem datele problemei și le transformăm în SI:
Δ_l1 = 4 cm = 0,04 m
m = 80 g = 0,08 kg
Δ_l2 = 10 cm = 0,1 m

Calculăm constanta elastică a firului, aplicând legea deformării elastice și greutatea pietrei care reprezintă forța deformatoare:
F = k ∙ Δl1 = k ∙ 0,04
G = m ∙ g = 0,08 kg ∙ 10 N/kg = 0,8 N
F = G
0,8 = k ∙ 0,04
k = 0,8/0,04 = 20 N/m

Calculăm energia potențială elastică a unui fir elastic, când praștia este întinsă cu 10 cm:

Deci energia potențială elastică acumulată în cele șase fire ale praștiei este de 0,1 ∙ 6 = 0,6 J.

Energia potențială elastică a praștiei este transferată pietrei la lansarea cu praștia și transformată în energie cinetică:

3.16. Urcarea uniformă a unui corp cu greutatea de 60 N se face pe o pantă (plan înclinat) cu lungimea de 2m și cu o forță de frecare egală cu 10% din greutatea corpului. Se cere:
a) Lucrul mecanic al forței de frecare.
b) Lucrul mecanic al forței de tracțiune.
c) Lucrul mecanic al forței de frecare când corpul este lăsat să coboare liber spre baza pantei, pe aceeași distanță.
d) Viteza corpului când ajunge la baza pantei.

Se dă: α = 30°; sin 30°= 0,5.

Rezolvare:

Notăm datele problemei:
G = 60 N
l = 2 m
F_f = 10% G

a)

b) Deoarece v = constantă: | F |= | G_t + F_f |

G_t = G ∙ sin 30° = 60 ∙ 0,5 = 30 N

| F | = | G_t + F_f | = 30 + 6 = 36 N

L_F = F ∙ l = 36 N ∙ 2 m = 72 J

c) Când corpul coboară liber, forța de frecare este egală cu forța de frecare ca la urcarea pe pantă, deoarece forțele pe direcția Oy rămân aceleași (se schimbă numai forțele pe direcția Ox) :

F_f = μ ∙ N = μ ∙ G_t = 6 N

L_Ff = - F_f ∙ l = - 6 N ∙ 2 m = - 12 J

d) Ca să calculăm viteza corpului cu care ajunge la baza planului înclinat aplicăm Teorema de variație a energiei mecanice:

ΔE = L_Ff

ΔE = E_final - E_inițial

G = m ∙ g = 60 N
m = 6 kg

h = l ∙ sin α = 2 m ∙ 0,5 = 1 m
E_inițial = E_c + E_pg + E_pe = 0 + m ∙ g ∙ h + 0 = m ∙ g ∙ h
E_inițial = 6 kg ∙ 10 N/kg ∙ 1 m = 60 J
(energia mecanică a corpului înainte de a coborî pe planul înclinat)

ΔE = E_final - E_inițial = 3 v² - 60 = - 12
3 v² = - 12 + 60
3 v² = 48
v² = 16 m²/s²
v = 4 m/s

3.17. Maria aruncă o bilă de 100 g pe verticală în sus de la înălțimea de 2 m față de sol, cu viteza inițială de 2 m/s. Neglijând forța de frecare cu aerul atmosferic, află:
a) Înălțimea maximă la care ajunge bila față de poziția inițială, h₀.
b) Viteza cu care bila atinge solul.
c) La ce înălțime urcă bila după ce atinge solul.
d) La ce înălțime maximă (h₁') ar ajunge bila când este aruncată în sus cu aceeași viteză inițială, dacă asupra ei ar acționa o forță de frecare de 1N.

Rezolvare:

Notăm datele problemei:
m = 100 g = 0,1 kg
h₀ = 2 m
v₀ = 2 m/s
F_f = 0
a) h₁ = h_max = ?
b) v₂ = ?
c) h₃ = ?
d) h₁' = ? când F_f = 1 N

a)

E₁ = E_c1 + E_pg1 + E_pe1 = 0 + m ∙ g ∙ (h₁+h₀) + 0
E₁ = 0,1 ∙ 10 ∙ (h₁ + 2) = h₁ + 2

Aplicăm Legea conservării energiei mecanice, deoarece F_f = 0:
E₀ = E₁
2,2 = h₁ + 2
h₁ = 2,2 m – 2 m = 0,2 m (față de nivelul inițial, h₀)

b)

c) E₃ = E_c3 + E_pg3 + E_pe3 = 0 + 0 + m ∙ g ∙ h₃ = 0,1 ∙ 10 ∙ h₃
E₀ = E₃
2,2 = h₃
h₃ = 2,2 m (față de sol)

d) Dacă F_f = 1N, bila nu își mai conservă energia mecanică și aplicăm teorema variației energiei mecanice:
ΔE = L_Ff
E₁' - E₀ = - F_f ∙ h₁'
m ∙ g ∙ (h₁' + h₀) – E₀ = - 1 ∙ h₁'
0,1 ∙ 10 ∙ (h₁' + 2) – 2,2 = - 1 ∙ h₁'
h₁' + 2 – 2,2 = - h₁'
2h₁' = 0,2
h₁' = 0,1 m