IV.5.1. Geometrie fractală - generalități

Imaginile complexe ale fractalilor au devenit un punct de atracție pentru foarte mulți oameni.

Un fractal este o figură geometrică fragmentată care poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului.

Elementele unui fractal sunt algoritmi care pot fi transfomaţi în forme şi desene numai cu ajutorul calculatoarelor.

Termenul de fractal a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 și este derivat din latinescul fractus, însemnând "fracturat". Acesta observă că formele din natură (munți, nori, fulgere, fulgi de zăpadă, arbori etc.) nu sunt forme geometrice simple, ci forme complexe și unice.

Geometria fractală studiază formele complexe, cu aspect neregulat, care apar atât în natură, cât și în imaginația oamenilor. Ea este o ramură a matematicii care studiază teoria haosului.

Geometria fractală este arta matematicii și arată că ecuațiile matematice sunt mult mai mult decât o colecție de numere și de legi abstracte. În plus, fractalii sunt cele mai bune descrieri matematice a multor forme din natură.

Fractalii nu sunt numai rodul imaginației matematicienilor, ei pot fi observați și în natură : norii, fulgii de zăpadă, diferite cristale din minereurile naturale, ramurile arborilor, frunzele unei ferigi, broccolii, arcele fulgerelor, lanțurile muntoase, rețeaua râurilor, linia unui țărm, dunele de nisip, sistemul vascular cu vase de sânge, structura plămânilor, structura ADN-ului structura creierului etc.

Utilizând grafica computerizată, formele naturale pot fi înțelese în toată complexitatea lor. Cu instrumentele uzuale din geometria euclidiană (riglă, compas, raportor etc.) este imposibil de reprezentat astfel de figuri complexe.

Fractalul are următoarele caracteristici:

• Este autosimilar (proprietate numită autosimilaritate), fiind un ansamblu ale cărui părți sunt într-o bună măsură identice cu întregul. Chiar dacă este un obiect de o complexitate geometrică, privit de la o anumită distanță, apoi făcând un zoom și privit din nou, imaginea care se vede este aceeași.

• Are o structură fină, dată de existența detaliilor la toate scările.

• Este neregulat și nu poate fi descris cu limbajul geometric euclidian.

• Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert).

Se cunoaște din geometrie că pentru realizarea măsurătorilor se folosesc dimensiunile. De exemplu, un punct are dimensiunea topologică 0 (nu are dimensiune), o linie are dimensiunea 1 (unidimensională), un pătrat are dimensiunea 2 (bidimensional) și un cub are dimensiunea 3 (tridimensional).

În cazul obiectelor fractale dimensiunile sunt diferite de cele topologice (euclidiene), fiind numere fracționale. Hausdorff a introdus așa-numita dimensiune fractală D_f.

N = r^Df

ln N = D_f ∙ ln r

N este numărul de obiecte (imagini identice sau copii)
r este factorul de scară
D_f este dimensiunea fractală (dimensiunea Hausdorff)

Fractalul este o formă geometrică obținută după aplicarea unui număr infinit de iterații (transformare repetitivă, prin aplicarea ei la rezultatul operației din etapa precedentă) ale aceluiași algoritm.