IV.3. Descrierea comportamentului haotic. Spațiul fazelor
Considerăm ca sistem fizic un gaz dintr-o incintă alcătuit dintr-un număr foarte mare de microparticule (atomi, molecule, ioni etc.). Microparticulele acestui gaz sunt într-o mișcare continuă și dezordonată, având o viteză ce depinde de temperatura gazului (agitație termică).
În mecanica statistică, se numește fază (punct figurativ) o stare microscopică a unui sistem termodinamic la un moment dat, caracterizată prin valorile coordonatelor și a impulsurilor canonice ale punctelor materiale care îl alcătuiesc.
Pentru un sistem cu n grade de libertate considerăm coordonatele X1, X2, ... Xn și impulsurile p1, p2, ... pn drept coordonatele unui punct într-un spațiu dimensional numit spațiul fazelor.
O fază este reprezentată de un punct în spațiul fazelor. Dacă microstarea sistemului variază, atunci punctul figurativ (faza) descrie o curbă continuă numită traiectoria punctului figurativ, ce reprezintă evoluția în timp a sistemului (dependența de timp a coordonatelor și impulsurilor).
🔦 Observație
-
Prin fiecare punct din spațiul fazelor trece o singură traiectorie.
-
Spațiul fazelor și traiectoria punctului figurativ nu au nimic în comun cu spațiul real sau cu traiectoria reală a microparticulei, fiind noțiuni formale pentru descrierea sistemelor dinamice.
Dacă se consideră planul de coordonate (X, p), acesta va reprezenta mulțimea tuturor stărilor dinamice ale sistemului cu un singur grad de libertate, numit planul fazelor, iar un punct, de coordonate (Xi, pi) din acest plan, reprezintă starea i a sistemului.
Folosind teoria ecuațiilor diferențiale ordinare se demonstrează că prin oricare stare (punct al planului fazelor) trece o orbită și numai una singură. O orbită se poate reduce la un singur punct, numit poziție de echilibru în care vectorul viteză în planul fazelor este nul. Pentru un sistem cu un grad de libertate, legea conservării energiei mecanice permite ușor determinarea orbitelor.
Pe fiecare orbită, valoarea energiei totale este constantă, motiv pentru care fiecare orbită (traiectorie) reprezintă o mulțime unică de stări (subvarietate reprezentată prin puncte ale planului fazelor) de nivel constant al energiei mecanice E(X,p) = constantă.
În cazul oscilatorului armonic liniar, asupra sistemului acționează numai forța elastică, care este o forță conservativă.
Dacă alegem masa pendulului m = 1 kg și constanta elastică k = 1 N/m, putem scrie următoarea ecuație pentru conservarea energiei mecanice:
